조선해양공학개론

Part 3 : 수동역학적 성능

주제

  • 모형시험과 프루드의 가정
  • 프로펠러 추진기
  • 선박의 운동
  • 해양의 좌표계

프루드는 이렇게 말했다 "길고 짧은 건 안 대 봐도 안다!"

  • Scale Effect (모형시험의 단점)
    • 불꽃이 단순하게 보인다, CG필수, 아니면 실제스케일...!
    • 모양, 물리적 상황이 같아도, 질량과 표면적 등에 의해 다른물리적 효과가 발생

프루드는 이렇게 말했다 "길고 짧은 건 안 대 봐도 안다!"

  • 선박, 항공기의 추진력 설계에서 모형실험을 수행

    • 추진력은 단순히 크기에 비례하지 않음...!
    • 모형실험의 결과를 가지고 실제크기를 예측하기위한 보정방법이 필요

  • 19세기 영국의 공학자 윌리엄 프루드(William Froude)

    • 수많은 실험 끝에 모형 선박과 실제 선박의 크기 효과를 보정할 수 있는 방법 발견
    • 영국은 강력한 해상 군사력을 얻어 영향력을 전 세계로 확대, 세계사의 흐름을 주도

프루드가 사용한 것은 차원해석

  • 차원해석 (Dimensional Analysis)

    • 물리현상을 이해하고 공식화, 모델링을 하기 전에 먼저 차원을 분석하는 단계
    • 여기서 차원은 공간표현의 차원이 아닌 물리량의 차원!
      • 물리변수 기본차원 : 질량(M), 길이(L), 시간(T), 전류(I), 온도(Θ), 물질량(N), 광도(J)의 7개의 독립적인 차원

  • 사고의 시작은 수식의 동차성과 기본차원의 독립성

    • 동차성 : 수식 양쪽(좌항과 우항)의 물리변수 차원은 같아야만 하며
    • 독립성 : 면적과 길이, 질량과 열량, 그리고 키와 몸무게처럼 차원이 다른 물리량을 서로 더하거나 뺄 수 없다

버킹엄의 파이 정리

  • Buckingham의 Pi (Π\Pi) 정리
    • "물리 현상을 지배하는 관련 변수가 모두 k개이고 이들을 이루는 기본차원이 r개라면, 무차원 변수는 k-r개 유도될 수 있다" 😳
    • 무슨말..? 😳😳
      • Π\Pi는 XX와 비슷하게 물리량의 차원을 나타내는 기호 (미지수값)
      • X1=f(X2,X3,...,Xk)X_1=f(X_2,X_3,...,X_k), 각 변수의 거듭제곱 (X1,X2a,X3b,...X_1, X_2^a, X_3^b,...)으로 이루어진 무차원변수를 k-r 개 구할 수 있고 이들 사이의 관계를 Π1=F(Π2,Π3,...,Πk−r\Pi_1 = F(\Pi_2,\Pi_3,...,\Pi_{k-r} 와 같이 표현할 수 있다.
      • 😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳😳

코코넛의 낙하속도 문제

  • 코코넛이 땅에 떨어질때 낙하속도는?

    낙하속도 v 를 결정하는 변수 : 코코널 질량 m, 매달린 높이 h, 중력가속도 g

v=f(m,h,g)v = f(m,h,g)

  • 각변수를 기본차원(질량(M), 길이(L), 시간(T))으로 표현

[v]=[L/T],[m]=[M],[h]=[L],[g]=[L/T2][v] = [L/T], [m] = [M], [h]=[L], [g]=[L/T^2]

  • 등장한 변수의 갯수 = 4개, 사용된 기본차원의 갯수 = 3개
    • 버킹엄의 파이이론에 의해 무차원 변수는 1개 (k-r)개

코코넛의 낙하속도 문제 (계속)

  • 각 변수에 대한 거듭제곱의 곱 = v1mahbgcv^1 m^a h^b g^c 이 무차원이 되는 a,b,c는?

a=0,b=−1/2,c=−1/2a =0, b = -1/2, c = -1/2

  • 따라서 무차원변수는 다음과 같다.

Π=v1m0h−1/2g−1/2=vgh\Pi = v^1 m^0 h^{-1/2} g^{-1/2} = \frac{v}{\sqrt{gh}}

  • 무차원변수는 어떤 상수값을 가질 것이다. 예를들어 Π=0.1\Pi = 0.1.
    • 정확한 상수값은 실험을 해야만 하나, 중요한 물리적 사실을 알수있다!
    • 코코넛의 낙하속도에 질량 m 은 상관이 없다! 🧐

냉동 치킨의 조리시간 문제

  • 코스트코에서 초대형 7 kg 짜리 브라질리안 냉동치킨을 샀다. 이 치킨의 반마리 3.5 kg 만 조리해서 먹고싶다. 그런데 설명서엔 6시간 오븐에 구으라고 되어있다. 3.5 kg 를 구우는데는 얼마나 두어야 할까?

  • 냉동치킨 조리시간에 관여하는 변수 : 조리시간 t, 칠면조의 질량 m, 칠면조 살코기 밀도 ρ\rho 오븐의 온도 T, 열전달계수 h

  • 각변수를 기본차원(질량(M), 길이(L), 시간(T))으로 표현

[t]=[T],[m]=[M],[ρ]=[M/L3],[T]=[Θ],[h]=[L2/T][t] = [T], [m] = [M], [\rho]=[M/L^3], [T] = [Θ], [h]=[L^2/T]

  • 등장한 변수의 갯수 = 5개, 사용된 기본차원의 갯수 = 4개, 즉 무차원변수 1개

냉동 치킨의 조리시간 문제 (계속)

  • 각 변수에 대한 거듭제곱의 곱 = t1maρbTchdt^1 m^a \rho^b T^c h^d 이 무차원이 되는 a,b,c,d는?

a=−2/3,b=2/3,c=0,d=1a = -2/3, b = 2/3, c = 0, d = 1

  • 따라서 무차원변수는 다음과 같다.

Π=t1m−2/3ρ2/3h1=tρ2/3hm2/3\Pi = t^1 m^{-2/3} \rho^{2/3} h^{1} = \frac{t\rho^{2/3} h}{m^{2/3}}

t=Cm2/3ρ2/3ht = C \frac{m^{2/3}}{\rho^{2/3} h}

냉동 치킨의 조리시간 문제 (계속)

t=Cm2/3ρ2/3ht = C \frac{m^{2/3}}{\rho^{2/3} h}

  • 브라질리언치킨의 크기에 상관없이 근밀도가 일정하고 열전달계수가 일정하다고 하면, ρ,h\rho, h 도 상수 CC 안으로 들어간다.

t=C′m2/3t = C' m^{2/3}

  • 7 kg 조리에 6시간이라면, 반마리 3.5 kg은 6시간의 0.52/3=0.630.5^{2/3}=0.63배 이므로, 3시간 47분 오븐조리하면 된다 😎

저항계수를 도출하는 차원분석

  • 자동차의 공기저항은 얼마나 되며 어떤 물리적 변수가 어떻게 관여하는가?
  • 공기의 저항력 FF에 관여하는 변수 : 자동차의 속도 vv, 자동차의 투영면적 AA, 공기의 밀도 ρ\rho

F=f(v,A,ρ)F = f(v,A,\rho)

  • 각변수를 기본차원(질량(M), 길이(L), 시간(T))으로 표현

[F]=[ML/T2],[v]=[L/T],[A]=[L2],[ρ]=[M/L3][F] = [ML/T^2], [v] = [L/T], [A] = [L^2], [\rho]=[M/L^3]

  • 등장한 변수의 갯수 = 4개, 사용된 기본차원의 갯수 = 3개, 즉 무차원변수 1개

F=Cv2ρAF = C v^2 \rho A

프루드수를 도출하는 차원분석

  • 선박이 받는 저항력에 중 주위에서 형성되는 파도에 의한 저항(조파저항)을 중심에 두고 차원분석

  • 조파저항에 관계있는 변수 : 선박의 속도 v, 길이 l, 유체의 밀도 ρ\rho, 중력가속도 g

  • 선박이 받는 저항 R=f(v,l,ρ,g)R = f(v,l,\rho,g)

[R]=[ML/T2],[v]=[L/T],[l]=[L],[ρ]=[M/L3],[g]=[L/T2][R] = [ML/T^2], [v] = [L/T], [l] = [L], [\rho]=[M/L^3], [g]=[L/T^2]

  • 등장한 변수의 갯수 = 5개, 사용된 기본차원의 갯수 = 3개, 즉 무차원변수 2개

  • Π1=R1valbρcgd\Pi_1=R^1 v^a l^b \rho^c g^d, Π2=v1laρbgc\Pi_2=v^1 l^a \rho^b g^c 이 무차원이 되는 a,b,c,d는?

프루드수를 도출하는 차원분석 (계속)

Π1=Rv2ρL2,Π2=v2gL=Fr\Pi_1=\frac{R}{v^2 \rho L^2}, \Pi_2=\frac{v^2}{gL} = Fr

  • 저항계수와 프루드수가 등장! 임의의 상수 G를 사용하면,

Rv2ρL2=G(v2gL)\frac{R}{v^2 \rho L^2} = G(\frac{v^2}{gL})

ResistanceForceGravitationalForce=v2ρL2gρL3=v2gL\frac{Resistance Force}{Gravitational Force} = \frac{v^2 \rho L^2}{g \rho L^3} = \frac{v^2}{gL}

프루드수 (Fr) 을 이용한 실제선박 저항계산

  • 프루드가 실험으로 발견한 상사법직 (Scale Law)
    “선박의 크기가 모형선 치수의 D배이고 속도 V1,V2,V3,...V_1, V_2, V_3, ... 에서 측정된 모형선의 저항이 R1,R2,R3,...R_1, R_2, R_3, ...일 때, 실제 선박의 경우 속도 V1D,V2D,...V_1\sqrt{D}, V_2\sqrt{D}, ...에서 R1D3,R2D3,...R_1 D^3, R_2 D^3, ... 의 저항을 받는다.”
  • 번역하면,
    "프루드수 (Fr)이 같으면,
    모형과 선박의 저항계수가 일치한다"

프루드수 (Fr) 을 이용한 실제선박 저항계산 (계속)

  • 총길이가 100 m 인 선박이 10 m/z로 운항할때 작용하는 저항을 계산

  • 1/25 스케일의 모형선을 제작해서 실험

    • 프루드수Fr=v2gLFr = \frac{v^2}{gL}가 같으려면, 속도를 1/5로 줄여서 2 m/s 로 실험
    • 계측하는건 저항계수값 (CRC_R, S는 침수표면적)
      • R=CR∗0.5v2ρSR = C_R * 0.5 v^2 \rho S

  • 자유표면을 갖는 운동일때 유용, 수중에서는 점성저항이 크므로 레이놀즈수가 중요함

  • 레이놀즈수 = 관성력/점성력 = 층류와 난류를 구분하는 척도가 되는 무차원수

프로펠러 추진기 - 형상정보 명칭

프로펠러 추진기 - 수중익(hydrofoil) 단면, NACA 모델

  • NACA 단면 모델
    • NACA (미국 항공 자문위원회), NASA의 전신에서 1933년 공개
    • 실험자료 공개
    • 1949년 발간한 700장 짜리 책에 모든 실험자료 수록함

프로펠러 추진기 - 수중익(hydrofoil) 단면, NACA 모델

  • Theory of Wing Sections 수록내용 중

상선 추진기 vs 잠수함 추진기

선박의 운동 - 바다가 가하는 힘

  • 선박의 주요 외력은 해양파! (파도!)

  • 해양파 발달요소

    • 풍속
    • 지속시간
    • 풍역대

  • 일정한 파장과 주기를 갖는 파동이 일정한 속도로 진행하면 (=규칙파 특성) 너울(스웰)이라고 함

선박의 운동 - Pierson-Moskowiz 스펙트럼

  • Pierson-Moskowiz 스펙트럼 : 대표적 완전히 발달된 '해양파 스펙트럼'

  • 규칙파에 대한 운동응답(motion response)을 설계에 고려

선박의 운동 - 배의 운동 명칭과 기호

  • Surge(전후동요), Sway(좌우동요), Heave(상하동요)
  • Roll(좌우회전), Pitch(전후회전), Yaw(방향회전)

선박의 운동 - 좌표계

  • 선박의 위치와 운동을 표현하기 위한 좌표계

선박의 운동 - 해양의 좌표계 (구면좌표계)

선박의 운동 - 해양의 좌표계 (수직좌표계; GPS)

  • 일반 상선은 수상운행 = 구면좌표계의 z축 필요 없음

  • 지구 표면의 위치를 정확히 표현하는 것은 상당히 어려운 문제

  • 현재는 GPS로 표현하는 위도, 경도 표면 좌표계 사용

    • GPS는 정확한 좌표계가 아님
    • WGS84라는 약속으로 지구를 수학적 타원체로 가정해 수선의 발을 내림
    • GPS(WGS84 = EPSG:4326), 구글지도(Google Mercator = EPSG:3857)
    • 한국과 일본에 잘 맞는 지역타원체(Bessel 1841 = EPSG:4004)

선박의 운동 - 해양의 좌표계 WGS84 지구타원체

  • 지구 표면에서 수선에 발(위도, 경도)을 어디에 내려야 하는가?
  • 지오이드(Geoid) : 해수면 평균높이를 연장, 실제 중력방향과 가장 유사
실제지구 - 지구 타원체 - 지오이드
지오이드 (10,000배 과장)

선박의 운동 - 해양의 좌표계 (수직좌표계; GPS)

🎉

다음 시간에 !


👨‍🏫 교수자

최원석 (Woen-Sug Choi)
한국해양대학교 해양공학과

상담문의 및 질문은 온라인 상담예약 링크 (담당교수 아니더라도 언제든지 누구든지 😊😊)
또는 해양과학기술관(D) 301호

https://news.samsungdisplay.com/18456?s=%EC%B0%A8%EC%9B%90%ED%95%B4%EC%84%9D